Propiedades

En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales se cumplen las siguientes propiedades:

1)      Propiedad clausurativa (o cerradura), si a y b son números reales, entonces, a + b y a ^. b son números reales únicos.

            

Este axioma garantiza que, cuando se realizan las operaciones de adición y multiplicación con números reales, la suma y el producto son números reales. A este axioma se le llama propiedad de cerramiento o cerradura debido a que se dice que un conjunto es cerrado respecto a una cierta operación, cuando al efectuar una operación con elementos del conjunto, se obtiene otro elemento del mismo conjunto, así:

El conjunto A={1, 2, 3, 4} no es cerrado respecto a la adición, pues al efectuar dicha operación aditiva con elementos del conjunto no se obtiene necesariamente un elemento del conjunto. Por ejemplo, 2 + 3 = 5, pero 5 no es un elemento de A.

Pero el conjunto de los números naturales pares es cerrado respecto a la adición y a la multiplicación, ya que cualquier suma o multiplicación de dos números naturales pares siempre da como resultado números naturales pares. Por ejemplo 6 + 8 = 14 y 6 ^. 8 = 48, en los dos casos son números naturales pares.

2)         Propiedad asociativa de la suma:

3)         Propiedad conmutativa de la suma:   

4)       Propiedad modulativa o elemento neutro (cero) para la suma: hay un número real, que denotamos por 0, tal que 0+a = a+0 = a, expresado simbólicamente:

            

5)       Elemento opuesto para la suma (inverso aditivo): hay un número real (y solo uno), que denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0

            

6)         Propiedad asociativa del producto:

7)         Propiedad conmutativa del producto:

ab = ba.

8)        Propiedad modulativa o elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número real distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 ·a = a ·1 = a

            

10)       Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

11)       Axiomas de orden:

En el conjunto de los números reales, existe un subconjunto llamado de los números positivos, para el que si a es un número real, exactamente uno de los tres siguientes enunciados es válido:

Puesto que el conjunto R de los números reales satisface el axioma de orden y los axiomas de campo, decimos que R es un campo ordenado.

Los opuestos de los números positivos forman el conjunto de los números negativos.

Ing. Iván Collantes V.

Docente en ESPE Latacunga

ibcollantes@espe.edu.ec