Los Números Reales

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

Los Números Naturales es el conjunto de números que sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {1, 2, 3, 4,…}

El cero, por lo general, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo), 3º (tercero),…

Un caso particular son los dígitos, es decir los naturales del 1 al 9 e incluido el cero, con el cual se forman los demás números reales.

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

Números enteros Z, son cualesquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos incluyendo el cero. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, 0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos en rojo de los deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a cero grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo, etc.).

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Número racional Q es el que se puede expresar como cociente o razón de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros también son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: 

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Si bien en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo: 

Número irracional, es el número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros.

La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es la raíz de dos; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo; la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional π; el número e es el valor de la expresión:

   cuando n tiende al infinito, etc.

La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas.

Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, los enteros y los naturales, forman el conjunto de los números reales.

Una construcción clásica, relacionada con los números irracionales, conocida bajo el nombre de "Espiral de Teodoro" permite construir geométricamente la raíz cuadrada de números enteros a partir de un triángulo isósceles.

Espiral de Teodoro

El conjunto de todos los números reales, por lo general se denota mediante el símbolo R y se puede representar sobre una recta numérica, o recta real, del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros. 

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. 

Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). El número real que corresponde a un cierto punto de la recta es su  abscisa.

La recta real es la base de las coordenadas cartesianas y, por tanto, de la geometría analítica y de la representación gráfica de las funciones.

Una estrategia para entender los números es la utilización de la geometría, por ejemplo si se quiere representar un número al cuadrado, a² podemos usar la representación geométrica del área de una figura rectangular:

Clasificación:

Ing. Iván Collantes V.

Docente en ESPE Latacunga

ibcollantes@espe.edu.ec